Prepa Helpe3a-Polytech 2023 MP Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2023, filière MP, en 4 heures. Thème : Endomorphisme de R_n[X], intégrale de t^(t^x), opérateur de moyenne et matrices aléatoires.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1 : un endomorphisme de R_n[X]. Formule de Taylor pour les polynômes et division par (X - α)^r, puis endomorphisme défini à partir de P et de P' : matrice, polynômes propres de degré n dont les racines valent 1 ou -1, éléments propres et diagonalisabilité.
- Exercice 2 : l'intégrale de t^(t^x). Fonction Gamma en question de cours, puis fonction définie par l'intégrale sur ]0,1] de t^(t^x) : domaine, monotonie, minoration, continuité, limites et tableau de variations, enfin écriture comme somme d'une série par intégration terme à terme.
- Exercice 3 : opérateur de moyenne. Endomorphisme qui associe à f la moyenne de f sur [0,x] : non surjectivité à l'aide de x sin(1/x), injectivité, éléments propres par une équation différentielle, puis restriction à l'espace engendré par les x^i et les x^i ln(x) : base, matrice et inversion.
- Exercice 4 : matrices aléatoires et projecteurs. Matrice d'un projecteur en base adaptée, spectre, rang égal à la trace, puis matrice aléatoire semblable à une diagonale de variables de Bernoulli : lois de la trace, du rang et du déterminant, égalité des dimensions des sous-espaces propres et étude de U U^T.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Séries numériques et vectorielles
- Dérivabilité et convexité
- Équations différentielles linéaires
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