e3a-Polytech 2020 MP Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours e3a-Polytech, France, session 2020, filière MP, en 4 heures. Thème : Variables géométriques, produit infini de ch(x/k), suites indexées par Z, polynômes orthogonaux et lemme de Cesàro.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1 : deux variables géométriques. Deux variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique sur N : vérification des lois, espérance, calcul de P(X = Y) et de P(X < Y), loi de la somme.
• Exercice 2 : produit infini de cosinus hyperboliques. Suite des produits des ch(x/k) : croissance, ensemble de convergence par passage au logarithme, parité, monotonie et continuité de la limite, puis intégrabilité de 1/ch sur R et de l'inverse de la limite.
  À revoir : Nombres réels et suites numériques, Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque
• Exercice 3 : suites indexées par Z. Questions de cours sur les relations entre coefficients et racines et sur les suites récurrentes linéaires d'ordre 2, puis espace des suites indexées par Z convergentes aux deux bouts : symétrie, endomorphisme x_(n-1) + x_(n+1) et ses valeurs propres, norme définie par une série, isométrie, sous-espaces fermés et comparaison avec la norme infinie.
  À revoir : Suites récurrentes, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Topologie des espaces vectoriels normés, Séries numériques et vectorielles
• Exercice 4 : orthogonal de R_(n-1)[X]. Produit scalaire intégral sur R_n[X], dimension d'un orthogonal, puis étude d'un polynôme orthogonal à R_(n-1)[X] par la fraction rationnelle x donne l'intégrale de L(t)t^x : zéros, pôles, forme factorisée et base obtenue par décomposition en éléments simples.
• Exercice 5 : fonctions en escalier et lemme de Cesàro. Fonctions en escalier construites sur une suite convergente : intégrale, expression par la partie entière, limite simple, et preuve du lemme de Cesàro par passage à la limite dans l'intégrale.
  À revoir : Nombres réels et suites numériques

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Nombres réels et suites numériques
• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Suites récurrentes
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Topologie des espaces vectoriels normés

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