Prepa HelpBanque PT 2020 PT Mathématiques A : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques A du Banque PT, France, session 2020, filière PT, en 4 heures. Thème : Matrices orthogonales, réflexions et temps d'atteinte d'une marche aléatoire.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I : une matrice orthogonale symétrique. Matrice 3 x 3 orthogonale et symétrique : diagonalisation, valeurs propres possibles d'une matrice orthogonale, sous-espaces propres et nature géométrique de l'endomorphisme associé.
- Partie II : endomorphismes involutifs. Pour u tel que u o u = Id, décomposition de R^n en somme directe de Ker(u - Id) et Ker(u + Id), diagonalisabilité, et caractérisation des involutions qui sont des isométries par l'orthogonalité de ces deux sous-espaces.
- Partie III : symétrie orthogonale dans R^4. Sous-espace F de R^4 défini par deux équations, base orthonormée de F complétée en base orthonormée de R^4, matrice de la symétrie orthogonale par rapport à F et écriture comme composée de deux réflexions.
- Partie IV : décomposition d'une isométrie en réflexions. Preuve par récurrence sur la codimension de l'espace des points fixes que toute isométrie de R^n est composée d'au plus n - dim F_f réflexions.
- Probabilités : fortune d'un joueur. Marche aléatoire de pas plus ou moins 1 : lois de X_1 et X_2, temps d'atteinte N_1 et N_2, loi du couple, relation de récurrence sur p_n = P(N_1 = n), fonction génératrice G solution de G(s) - ps = qsG(s)^2 et probabilité d'atteindre a + 1.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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