Banque PT 2020 PT Mathématiques C : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques C du Banque PT, France, session 2020, filière PT, en 4 heures. Thème : Approximation du cosinus, produits infinis et constante d'Euler.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Préambule : formule de Taylor-Young. Énoncé de la formule de Taylor-Young et développement limité du cosinus à l'ordre 2.
  À revoir : Dérivabilité et convexité
• Partie I : une approximation rationnelle du cosinus. Fonction rationnelle paire : parité, variations, développement en série entière et tracé comparé avec le cosinus sur [-pi, pi].
  À revoir : Séries entières, Dérivabilité et convexité
• Partie II : l'équation fonctionnelle h(2x) = h(x) cos(pi x). Formule de duplication, produit des cos(pi x / 2^k) obtenu par récurrence et passage à la limite pour trouver h(x) = sin(pi x)/(pi x).
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Limites et continuité
• Partie III : produits infinis et constante d'Euler. Série de ln cos(pi/(n+1)) et produit infini associé, intégrale donnant les sommes harmoniques, existence de la constante d'Euler, intégrales G_n(x) calculées par intégrations par parties et formule produit, relation de complément pour la fonction H obtenue.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Séries entières
• Nombres complexes et trigonométrie
• Limites et continuité
• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque

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