Banque PT 2021 PT Mathématiques C : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques C du Banque PT, France, session 2021, filière PT, en 4 heures. Thème : Fonction gaussienne : polynômes d'Hermite, moments et polynômes de Bernstein.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Préambule : la gaussienne et ses dérivées. Solution de y' + 2xy = 0, majorations des dérivées, accroissements finis et uniforme continuité, dérivées n-ièmes exprimées avec des polynômes de type Hermite et leur coefficient dominant.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Dérivabilité et convexité
• Partie I : moments et produit scalaire gaussien. Convergence et relations de récurrence pour les intégrales de x^n e^(-x^2), valeurs explicites, produit scalaire sur R[X] défini par une intégrale à poids gaussien et base orthonormée de Vect(H_0, H_1, H_2).
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Partie II : une fonction définie par une intégrale. F(x) intégrale de e^(-u^2) entre x et 2x : parité, régularité, variations, encadrement, série des F(2^n), primitive et sa limite, développement en série entière.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles, Séries entières, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Partie III : approximation par les polynômes de Bernstein. Loi binomiale de S_n, identité E[f(S_n/n)] = B_n(f)(p) et convergence de B_n(f) vers f déduite de la loi faible des grands nombres.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Équations différentielles linéaires
• Dérivabilité et convexité
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Séries entières
• Techniques fondamentales de calcul en analyse

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