CCINP 2021 TSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2021, filière TSI, en 4 heures. Thème : Fonction x^x, limite d'intégrales par série de Fourier, variables aléatoires à valeurs dans {-1, 1}.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : étude de la fonction g : x -> x^x. Dérivabilité, variations et limites, tangente en 1 et position relative par un développement limité, tracé de la courbe et encadrement d'une intégrale.
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Problème 1, partie II : approximation de l'intégrale de x^x sur [0,1]. Intégrales de x^n ln(x)^k par intégrations par parties et récurrence, développement en série entière de l'exponentielle et écriture de l'intégrale comme somme d'une série, avec majoration du reste.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Problème 1, partie III : point critique de la surface z = x^y - x. Ensemble de définition, unique point critique, absence d'extremum et plan tangent à la surface.
• Problème 2 : calcul d'une limite par une série de Fourier. Existence d'intégrales généralisées I_n, réécriture comme somme de série à l'aide d'une série géométrique, puis coefficients de Fourier de exp(-t/2) et théorème de Dirichlet pour obtenir la limite de (I_n).
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie
• Problème 3, partie I : marche aléatoire sur un carré. Rotations du plan et racines n-ièmes de l'unité, déplacement aléatoire sur les sommets d'un carré décrit par une matrice de transition, diagonalisation de cette matrice et loi de la position au temps n.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Problème 3, partie II : orthonormalité des lois de Rademacher. Espace des variables aléatoires à valeurs finies muni d'un produit scalaire défini par l'espérance, famille orthonormale de variables de Rademacher indépendantes et projection orthogonale.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Nombres complexes et trigonométrie
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

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