Prepa HelpCCINP 2024 TSI Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2024, filière TSI, en 4 heures. Thème : Série harmonique et urne, matrices tridiagonales et suite de Fibonacci, borne inférieure par produit scalaire.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice : autour de la série harmonique. Divergence de la série harmonique par l'inégalité exp(x) >= 1 + x et un produit télescopique, puis application probabiliste : nombre de boules noires tirées dans une urne enrichie, dont l'espérance est la somme harmonique.
- Problème 1, parties I et II : exemples de matrices tridiagonales. Pour n = 3 : rang, polynôme caractéristique, déterminant, valeurs propres complexes et sous-espace propre ; pour n = 2 : diagonalisabilité et trigonalisabilité selon les coefficients.
- Problème 1, parties III et IV : Fibonacci et déterminant. Suite de Fibonacci (équation caractéristique, expression explicite, fonction Python), puis relation de récurrence sur le déterminant des matrices tridiagonales par développement, égal au terme de Fibonacci.
- Problème 2, partie I : une suite d'intégrales. Intégrales I_n sur [0,1] : calcul, relation de récurrence, décroissance, limite nulle et somme d'une série associée.
- Problème 2, parties II et III : produit scalaire et fonction de deux variables. Produit scalaire intégral sur R[X], projection orthogonale de X^2 sur R_1[X] pour obtenir une borne inférieure, puis même résultat retrouvé par l'unique point critique d'une fonction de deux variables.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Dérivabilité et convexité
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Déterminants
- Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions
- Récursivité
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
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