CCINP 2022 TSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2022, filière TSI, en 4 heures. Thème : Opérateur de différence P(X+1) - P(X) et sommes d'entiers, trajectoires orthogonales d'une famille de courbes.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : préliminaires. Formule du binôme, endomorphisme Phi : P(X) -> P(X+1) - P(X) de R_n[X], effet sur le degré, noyau, image et formule télescopique pour la somme des P(i).
  À revoir : Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires, Compléments d'algèbre linéaire
• Problème 1, partie II : une famille de polynômes. Polynômes H_i, produits de (X - k), formant une base adaptée à Phi, décomposition d'un polynôme dans cette base, application aux sommes des carrés et des cubes des entiers et fonction Python associée.
  À revoir : Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires, Compléments d'algèbre linéaire, Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions
• Problème 2, parties I et II : calculs dans un plan et changement de repère. Produit mixte, vecteur normal, projeté orthogonal et distance à un plan, puis base orthonormée directe adaptée au plan, matrices de passage et matrice de la projection orthogonale, diagonalisable.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Déterminants
• Problème 2, partie III : trajectoires orthogonales des droites passant par l'origine. Équation différentielle du premier ordre de la famille de droites, équation des trajectoires orthogonales, résolution et reconnaissance de cercles.
  À revoir : Équations différentielles linéaires
• Problème 2, partie IV : trajectoires orthogonales des hyperboles équilatères. Étude et tracé d'une courbe paramétrée, équation différentielle de la famille d'hyperboles, changement de fonction z = y^2, résolution d'une équation linéaire et équation des trajectoires orthogonales.
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés, Équations différentielles linéaires

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Compléments d'algèbre linéaire
• Bases de Python : expressions, types, instructions, fonctions
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Déterminants
• Équations différentielles linéaires
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés

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