CCINP 2020 TSI Mathématiques : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2020, filière TSI, en 4 heures. Thème : Série de Fourier de |sin(2x)|, endomorphisme annulé par un polynôme de degré 2, intégrales gaussiennes et intégrale à paramètre.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Problème 1, partie I : préliminaires. Espace des fonctions C^1 et 2pi-périodiques muni d'un produit scalaire intégral, base orthonormée des sous-espaces engendrés par cos(kx) et sin(kx), projection orthogonale exprimée avec les coefficients de Fourier.
• Problème 1, partie II : série de Fourier. Étude de |sin(2x)| (parité, période pi/2, graphe), valeur moyenne, linéarisation, coefficients de Fourier et calcul d'une somme de série numérique en un point particulier.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Séries numériques et vectorielles
• Problème 2 : endomorphisme vérifiant f^2 = (f + Id)/2. Exemple en dimension 2 diagonalisé, puis cas général : inversibilité, somme directe de deux noyaux, expression de f^n comme combinaison de f et Id par récurrence et limites des suites de coefficients.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Nombres réels et suites numériques
• Problème 3, parties I et II : intégrales gaussiennes et extrema. Convergence des intégrales de t^n exp(-t^2), relation de récurrence par intégration par parties et valeur des moments pairs, puis points critiques d'une fonction de deux variables définie par une intégrale et nature de l'origine.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Problème 3, partie III : intégrale dépendant d'un paramètre. Fonctions S(x) et C(x) définies par des intégrales de sin(xt)exp(-t^2) et t cos(xt)exp(-t^2) : formule de Taylor avec reste intégral, dérivabilité de S, équation différentielle linéaire du premier ordre et expression de S.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Équations différentielles linéaires, Dérivabilité et convexité

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Nombres complexes et trigonométrie
• Séries numériques et vectorielles
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Nombres réels et suites numériques
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Équations différentielles linéaires
• Dérivabilité et convexité

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