Prepa HelpCCINP 2026 TSI Mathématiques : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques du Concours Commun INP (CCINP), France, session 2026, filière TSI, en 4 heures. Thème : Intégrale de cos(nt)/(a - cos t) par les nombres complexes, matrices aléatoires de taille 2.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Problème 1, partie I : lemme préliminaire. Racines complexes de z^2 - 2az + 1 pour |a| > 1, relations entre racines et coefficients et existence d'une racine de module strictement inférieur à 1.
- Problème 1, partie II : calcul d'une intégrale. Coefficients de Fourier de 1/(a - cos t), seconde expression en série trigonométrique obtenue par des séries géométriques complexes, convergence absolue et identification des coefficients pour calculer l'intégrale de cos(nt)/(a - cos t) sur [0, 2pi].
- Problème 2, partie I : l'espace M_2(R). Produit scalaire (A, B) -> Tr(A tB), décomposition en somme d'une matrice symétrique et d'une antisymétrique et distance d'une matrice à S_2(R).
- Problème 2, parties II et III : matrices de Rademacher et géométrique. Matrices construites sur deux variables aléatoires indépendantes de loi de Rademacher puis géométrique : lois, espérances et variances des variables associées, distance à S_2(R) et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
- Problème 2, partie IV : matrice de Poisson. Variables de Poisson : inversibilité, valeurs et vecteurs propres de la matrice, diagonalisation, étude d'une série entière et méthode numérique pour approcher un paramètre.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Nombres complexes et trigonométrie
- Séries numériques et vectorielles
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Compléments d'algèbre linéaire
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
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