Prepa HelpCentrale 2026 TSI Mathématiques 1 : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques 1 du Concours Centrale-Supélec, France, session 2026, filière TSI, en 4 heures. Thème : La méthode des moindres carrés.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie A : problèmes de minimisation et de convergence. Distance d'un vecteur à un sous-espace de M_{4,1}(R) par projection orthogonale, puis série de Fourier de la fonction 2pi-périodique égale à cos(alpha x) et meilleure approximation d'une fonction continue 2pi-périodique par projection orthogonale sur un espace de polynômes trigonométriques.
- Partie B : limites de suites de matrices. Convergence d'une suite de matrices coefficient par coefficient, étude des puissances A^k sur des exemples et pour une matrice diagonalisable.
- Partie C : interpolation polynomiale et moindres carrés. Polynômes de Lagrange formant une base orthonormée pour un produit scalaire sur R_n[X], meilleure approximation au sens des moindres carrés et majoration de l'erreur d'interpolation.
- Partie D : régression linéaire et moindres carrés. Droite de régression en dimension 2, équations normales A^T A x = A^T y dans le cas général, puis décomposition en valeurs singulières et solution de norme minimale.
- Partie E : la méthode du gradient. Résolution approchée du problème des moindres carrés par une méthode de gradient, convergence étudiée avec les valeurs propres de A^T A et l'inégalité de Kantorovich.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Compléments d'algèbre linéaire
- Séries numériques et vectorielles
- Nombres réels et suites numériques
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
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