Prepa HelpCNC 2009 PSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2009, filière PSI, en 4 heures. Thème : Évaluation polynomiale en n+1 points, interpolation de Lagrange et approximation polynomiale au sens des moindres carrés.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : étude de l'application f_m. Application linéaire qui à un polynôme de degré au plus m associe ses valeurs en n+1 points distincts. Selon la position de m par rapport à n, on détermine noyau, rang, injectivité et surjectivité à l'aide de la division euclidienne par le produit des (X-x_i). Les polynômes de Lagrange donnent une base et résolvent le problème d'interpolation.
- 2ème partie, A : étude dans le cas m >= n+1. On cherche à minimiser la somme des carrés des écarts entre un polynôme et les valeurs données. Lorsque m est assez grand, le minimum est nul et l'ensemble des polynômes qui l'atteignent se décrit avec le noyau de f_m.
- 2ème partie, B : étude dans le cas m <= n. Avec la matrice de Vandermonde rectangulaire A, on montre que tAA est inversible et que le système normal tAAZ = tAb a une unique solution, qui réalise le minimum. On interprète Aw comme projection orthogonale de b. Une application numérique avec n = m = 3 se résout par le pivot de Gauss.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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