Prepa HelpCNC 2008 PSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2008, filière PSI, en 4 heures. Thème : Classes de similitude des matrices carrées d'ordre 2 : parties bornées, fermées, diagonalisabilité et borne inférieure de la norme.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- I. Résultats préliminaires. À l'aide de matrices de transvection, on montre qu'une classe de similitude réduite à un point ou bornée est celle d'une matrice scalaire ; on en tire les classes compactes. On vérifie aussi qu'une norme euclidienne est définie sur M2(K), que la trace et le déterminant sont continus et invariants par similitude.
- II. Condition pour qu'une classe de similitude de M2(K) soit fermée. Réduction des matrices d'ordre 2 selon leur spectre, puis étude de suites de matrices semblables. La classe est fermée pour une matrice diagonalisable et ne l'est pas pour une matrice trigonalisable non diagonalisable. Le cas réel sans valeur propre se ramène à une matrice de carré -I2 ; on conclut par une caractérisation sur C puis sur R.
- III. Un autre aspect de l'étude des classes de similitude de M2(R), A et B. Après des résultats sur la norme et les matrices orthogonales, on trigonalise en base orthonormée par le procédé de Schmidt une matrice à spectre réel. On calcule la borne inférieure de la norme sur la classe, égale à la racine de la somme des carrés des valeurs propres, et on montre qu'elle est atteinte si et seulement si la matrice est diagonalisable.
- III, C et D : cas où la matrice n'a aucune valeur propre réelle ; conclusion. Pour une matrice sans valeur propre réelle, on construit un vecteur e orthogonal à son image pour écrire la matrice dans une base orthonormée adaptée. La borne inférieure vaut la racine de 2 det M, elle est atteinte, et on décrit les matrices où elle l'est. Conclusion : la borne est atteinte si et seulement si la classe est fermée.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Espaces vectoriels normés
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
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