CNC 2011 PSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2011, filière PSI, en 4 heures. Thème : Transformation de Fourier discrète et son algorithme rapide ; polynôme X^3 - 3aX + 2b et géométrie de la courbe (t^2, t^3).

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Premier problème, 1ère partie : quelques propriétés de Phi_p. La transformation de Fourier discrète de C^p évalue un polynôme aux puissances d'une racine p-ième de l'unité. On prouve que c'est un automorphisme, par les polynômes, par sa matrice, puis par une identité de type Parseval. Le produit de la matrice conjuguée par M donne l'inverse de M.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Compléments d'algèbre linéaire, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Premier problème, 2ème partie : un peu d'algorithmique. Pour p = 2^n, on calcule la transformée à partir de celles des termes pairs et impairs. On établit les relations de récurrence sur le nombre d'additions et de multiplications de l'algorithme récursif, puis on compare son coût, de l'ordre de p ln p, à celui de l'évaluation par Hörner, de l'ordre de p^2.
  À revoir : Complexité des algorithmes itératifs et récursifs, Récursivité, Tri par fusion et tri rapide
• Deuxième problème, 1ère partie. Le polynôme X^3 - 3aX + 2b a une racine réelle par le théorème des valeurs intermédiaires. Il a une racine au moins double exactement sur l'ensemble des points (t^2, t^3). Le signe d'un discriminant, relié à b^2 - a^3, décide du nombre de racines réelles.
  À revoir : Limites et continuité, Nombres complexes et trigonométrie
• Deuxième problème, 2ème partie. Étude de la courbe paramétrée (t^2, t^3) : classe, axe de symétrie, points biréguliers, nature du point de paramètre 0, tangentes, variations, branches infinies et tracé du support.
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Deuxième problème, 3ème partie. La tangente en un point recoupe la courbe en un unique autre point, ce qui définit une suite de points dont on étudie la limite. On caractérise les tangentes perpendiculaires et on montre que le lieu des points d'où partent deux telles tangentes est une parabole, dont on donne les éléments et les intersections avec la courbe.
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés, Nombres réels et suites numériques

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Nombres complexes et trigonométrie
• Compléments d'algèbre linéaire
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Complexité des algorithmes itératifs et récursifs
• Récursivité
• Tri par fusion et tri rapide
• Limites et continuité
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Nombres réels et suites numériques

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