Prepa HelpCNC 2003 PSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2003, filière PSI, en 4 heures. Thème : Polynômes de Legendre : orthogonalité, relation de récurrence et méthode d'intégration numérique de Gauss.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère Partie. Étude de l'endomorphisme P -> ((X^2 - 1)P')' sur les polynômes de degré au plus n : matrice dans la base canonique, valeurs propres, diagonalisabilité et vecteurs propres unitaires P_k. Produit scalaire intégral sur [-1, 1], symétrie de l'opérateur, orthogonalité des P_k, base orthonormée et norme subordonnée de l'endomorphisme.
- 2ème Partie. Polynômes L_k obtenus par dérivation k-ième de (X^2 - 1)^k : degré, coefficient dominant, parité, valeurs en 1 et -1 par la formule de Leibniz. Orthogonalité par intégrations par parties, relation de récurrence à trois termes, lien avec les vecteurs propres de la première partie et calcul de la norme de L_k.
- 3ème Partie. Méthode de quadrature à n + 1 points sur [-1, 1] et notion d'ordre. On montre qu'une méthode d'ordre 2n + 1 impose pour nœuds les zéros du polynôme orthogonal R_(n+1), avec des poids donnés par les polynômes de Lagrange, puis que ce choix donne bien l'ordre exact 2n + 1.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Espaces vectoriels normés
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Dérivabilité et convexité
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