CNC 2003 PSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2003, filière PSI, en 4 heures. Thème : Transformée de Fourier d'une fonction de R dans C : deux exemples explicites et propriétés générales.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• I. Étude d'un premier exemple. Étude de la fonction x -> intégrale de x à +inf de e^(-t)/t dt : encadrement, dérivée, intégrabilité. On calcule la transformée de Fourier de la fonction paire associée, sous forme d'intégrale sur [0, +inf[, jusqu'à l'expression en arctan(x)/x, en dérivant une intégrale dépendant d'un paramètre.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• II. Un autre exemple. Calcul de la transformée de Fourier de 1/ch : intégrales de e^(at) cos(bt), développement en série alternée d'intégrales et majoration du reste. On calcule ensuite les coefficients de Fourier d'une fonction impaire 2pi-périodique égale à ch(xt) sur ]0, pi[, puis on applique le théorème de convergence pour obtenir la valeur en pi/ch(pi x/2).
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• III. Quelques propriétés de la transformée de Fourier d'une fonction. Pour f intégrable sur R, la transformée est définie, bornée et continue si f l'est. Effet d'une translation, d'une dilatation et d'une modulation, cas pair et impair. Transformée de la dérivée, limite nulle à l'infini et dérivation de la transformée lorsque t f(t) est intégrable.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Limites et continuité

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Séries numériques et vectorielles
• Limites et continuité

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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