Prepa HelpCNC 2004 PSI Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2004, filière PSI, en 4 heures. Thème : Solutions bornées de l'équation différentielle y' - y + f = 0 : cas d'une fonction intégrable et d'une fonction périodique.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- I. Exemple et résultats généraux. Résolution de l'équation pour f exponentielle et recherche des solutions bornées au voisinage de +inf ou sur R. Dans le cas général, structure des solutions, forme intégrale, condition de convergence et solution particulière Y_f. Pour f bornée, Y_f est l'unique solution bornée sur R, avec ses limites lorsque f tend vers 0.
- II. Cas d'une fonction intégrable. Pour f intégrable sur R, Y_f est bornée, tend vers 0 aux deux infinis, est intégrable et a la même intégrale que f. L'application g -> Y_g est un endomorphisme continu de l'espace des fonctions continues intégrables muni de la norme N1, dont on calcule la norme. La partie B reprend l'étude quand l'intégrale de f est seulement convergente, par intégration par parties.
- III. Cas d'une fonction périodique. Pour f 2pi-périodique, Y_f est l'unique solution bornée, elle est périodique et de classe C1. On exprime ses coefficients de Fourier complexes en fonction de ceux de f, puis on itère l'opérateur et, par la convergence normale de la série de Fourier et le théorème de Dirichlet, on étudie la convergence de la suite (f_n) vers la valeur moyenne de f.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Équations différentielles linéaires
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Espaces vectoriels normés
- Séries numériques et vectorielles
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