Prepa HelpCNC 2013 PSI Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2013, filière PSI, en 4 heures. Thème : Transformée de Laplace : abscisse de convergence, propriétés, théorème de Césaro et théorème de Tauber.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : résultats préliminaires. Intégrabilité et convergence de l'intégrale de e^(-zt) selon Re(z). Si l'intégrale converge en z_0, une intégration par parties la fait converger pour Re(z) > Re(z_0), d'où l'existence d'une abscisse de convergence, calculée pour t -> e^(alpha t).
- 2ème partie : propriétés de la transformée de Laplace. Continuité sur le demi-plan, classe C^2 sur la demi-droite réelle et limite nulle en +infini. Calcul explicite pour w(t) = (1 - cos t)/t^2, puis théorème de Césaro : par des polynômes et un théorème d'approximation, on déduit de la limite de x L(g)(x) en 0 celle de la moyenne de g sur [0,a].
- 3ème partie : comportement au voisinage de l'origine. Si l'intégrale de f converge, L(f)(x) tend vers cette intégrale en 0+ ; la fonction cosinus montre que la réciproque est fausse. Sous l'hypothèse t f(t) -> 0, le théorème de Tauber établit cette réciproque à l'aide d'une majoration de L(f)(x) moins l'intégrale de f sur [0,a], avec un choix de x lié à a.
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