CNC 2008 PSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2008, filière PSI, en 4 heures. Thème : Fonctions de la variable complexe vérifiant une condition de type Cauchy-Riemann : intégrales curvilignes, analyticité, formule de Gutzmer et théorème de Liouville.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1ère partie : la propriété (H). On identifie C à R^2, puis on définit la propriété (H) par une équation entre les dérivées partielles de f~(x,y) = f(x+iy). Elle est testée sur z^2, exp, le conjugué et une intégrale à paramètre sur le demi-plan Re(z) > 0, puis étendue aux sommes, produits et inverses. On termine par la matrice jacobienne, vue comme similitude, et par le laplacien de f~.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Nombres complexes et trigonométrie, Espaces vectoriels normés
• 2ème partie, A : intégrales curvilignes. Définition de l'intégrale de f le long d'un chemin de classe C1 par morceaux, calcul sur des arcs de cercle et limite de I(r) quand r tend vers l'infini par minoration de sin. Si f admet une primitive F vérifiant (H), l'intégrale ne dépend que des extrémités et s'annule sur un lacet ; on étudie aussi la concaténation de deux chemins.
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés, Nombres complexes et trigonométrie, Intégration sur un intervalle quelconque
• 2ème partie, B : étude de la somme d'une série entière et application. La somme d'une série entière vérifie (H) et admet une primitive construite terme à terme. La fonction g(z) = (exp(iz)-1)/z, intégrée sur le bord d'un demi-disque, donne alors la limite de l'intégrale de sin(u)/u, c'est-à-dire l'intégrale de Dirichlet.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque, Nombres complexes et trigonométrie
• 3ème partie : analyticité des applications vérifiant la propriété (H). Autour d'un point z0, les coefficients de Fourier de theta -> f(z0 + r exp(i theta)) fournissent un développement de f en série entière sur le plus grand disque contenu dans l'ouvert, avec unicité des coefficients. On établit la formule de Gutzmer et on en déduit le théorème de Liouville : une fonction définie sur C, bornée et vérifiant (H) est constante.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie, Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Nombres complexes et trigonométrie
• Espaces vectoriels normés
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Séries numériques et vectorielles

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