CNC 2006 PSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2006, filière PSI, en 4 heures. Thème : Équation aux dérivées partielles par changement de variables, puis opérateur de Cesàro sur les fonctions continues et de carré intégrable.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Fonctions de deux variables de dérivée partielle nulle par rapport à v. Le changement de variables (u, v) -> (u e^v, e^(-v)) est un C1-difféomorphisme de R^2 sur R x ]0, +inf[ et permet de résoudre x df/dx - y df/dy = 0, puis la même équation avec second membre ax + by.
• Problème, première partie. Calcul de l'intégrale de Frullani de (e^(-at) - e^(-bt))/t par dérivation sous le signe intégrale. Par intégration terme à terme d'une série entière convergeant uniformément sur [0, 1], on obtient la valeur pi^2/12 de l'intégrale de ln(1 + t)/t sur ]0, 1].
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Problème, deuxième partie. Étude de l'opérateur T qui à f continue sur R+ associe sa moyenne (1/x) fois l'intégrale de f sur [0, x] : endomorphisme injectif, non surjectif. La résolution d'une équation différentielle du premier ordre donne l'ensemble des valeurs propres et les sous-espaces propres.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Problème, troisième partie. Sur l'espace E2 des fonctions continues de carré intégrable, produit scalaire intégral. L'inégalité de Hardy, obtenue par intégration par parties et Cauchy-Schwarz, donne ||T(f)|| <= 2||f|| et la continuité de l'endomorphisme induit. On établit (T(f)|T(f)) = 2(f|T(f)), que le cas d'égalité n'a lieu que pour f nulle, et on traite deux exemples explicites.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Espaces vectoriels normés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Équations différentielles linéaires
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Espaces vectoriels normés

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