Prepa HelpCNC 2006 PSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2006, filière PSI, en 4 heures. Thème : Endomorphismes de Mn(C) conservant le polynôme caractéristique et applications conservant celui des produits.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice. Matrice réelle A non nulle d'ordre 3 vérifiant A^3 + A = 0. On décompose R^3 en somme directe de Ker u et Ker(u^2 + id), on montre que ce second sous-espace est de dimension 2 sans valeur propre pour l'endomorphisme induit, et on écrit dans une base adaptée une matrice simple semblable à A.
- Problème, première partie. Calculs avec la base canonique E_ij de Mn(C) : matrices qui commutent à toutes les autres, nullité d'une matrice par la trace, Tr(AB) = Tr(BA). Les endomorphismes M -> PMQ et M -> P tM Q conservent le rang, et on détermine lesquels conservent le déterminant.
- Problème, deuxième partie. En admettant la forme des endomorphismes conservant le déterminant, on montre que ceux qui conservent le polynôme caractéristique sont exactement M -> PMP^-1 et M -> P tM P^-1. Exemple en dimension 2 avec M -> Tr(M)I2 - M : isomorphisme, éléments propres, diagonalisabilité et expression explicite.
- Problème, troisième partie. Une application w telle que w(A)w(B) et AB aient le même polynôme caractéristique est additive, linéaire et bijective. Grâce à la trace et à la nilpotence des E_ij, on introduit la matrice G telle que w(G) = In et on montre qu'elle est scalaire, égale à In ou -In. On obtient la forme de w et la réciproque.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Compléments d'algèbre linéaire
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
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