CNC 2007 PSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2007, filière PSI, en 4 heures. Thème : Matrices de rang 1 : décomposition, réduction, similitude, et rang de la comatrice.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• 1ère Partie. Rang vu par les colonnes, écriture des matrices de rang 1 sous la forme X tY et unicité de cette écriture. Toute matrice de rang r est somme de r matrices de rang 1, et on construit des bases de Mn(R) formées de telles matrices, puis des familles orthonormées pour le produit scalaire Tr(tM N).
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• 2ème Partie. Pour A = U tV de rang 1, on calcule A^2 = aA avec a = tV U. Condition de nilpotence, multiple de A qui est un projecteur, éléments propres et diagonalisabilité si a est non nul. Si a est nul, réduction dans une base adaptée et similitude de deux matrices de rang 1 et de trace nulle.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• 3ème Partie. Rang de la comatrice selon celui de A : n, 0 ou 1. On dérive t -> det(A - tIn) pour obtenir P_A'(0) = -Tr(A^c). Pour deux matrices semblables, on montre que leurs comatrices ont même trace et sont semblables, en distinguant les cas selon le rang et la trace.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Compléments d'algèbre linéaire
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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