CNC 2007 PSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2007, filière PSI, en 4 heures. Thème : Fonction Gamma et équation différentielle de Bessel, puis géométrie de la cardioïde : longueur, aire, courbure et développée.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Premier problème, partie I. Intégrabilité de t^(z-1) e^(-t) et définition de Gamma(z) pour Re(z) > 0, relation fonctionnelle et valeurs aux entiers. Écriture de Gamma comme somme d'une série et d'une intégrale, qui permet son prolongement, continuité de cette série, puis domination sur [a, b] pour obtenir la classe C1 et l'expression intégrale de la dérivée.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles
• Premier problème, partie II. Recherche de solutions de l'équation de Bessel sous la forme x^a fois une série entière : relations de récurrence sur les coefficients, indice a = +v ou -v, rayon de convergence et expression à l'aide de Gamma. Équivalent en 0, et pour 2v non entier, solution générale sur R+* formée de deux solutions indépendantes.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Séries numériques et vectorielles
• Deuxième problème, première partie. Étude de l'arc d'équation polaire r = 1 + cos(t), la cardioïde : période, axe de symétrie, nature du pôle, points biréguliers et concavité, tracé avec les tangentes aux points remarquables. Calcul de la longueur de l'arc et de l'aire délimitée.
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Deuxième problème, deuxième partie. Questions de cours sur l'abscisse curviligne, l'angle V, le rayon de courbure et le centre de courbure d'un arc polaire. Pour la cardioïde, le centre de courbure I est l'image d'un point de l'arc par une homothétie et son projeté H sur la droite OM l'image de M par une homothétie de centre O. Tracé des trois courbes, longueur et aire pour H.
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés, Nombres complexes et trigonométrie

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Séries numériques et vectorielles
• Équations différentielles linéaires
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Nombres complexes et trigonométrie

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