Prepa HelpCNC 2005 PSI Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2005, filière PSI, en 4 heures. Thème : Équation différentielle y'' + y = f : solutions bornées ou périodiques, puis séries de sinus à coefficients décroissants.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Première partie. Espace des solutions de y'' + y = 0 et solution particulière donnée par l'intégrale de f(t) sin(x - t), étudiée à l'aide de deux intégrales auxiliaires. Application à une fonction h vérifiant h'' + h >= 0. Pour f 2pi-périodique, condition sur les coefficients de Fourier a1(f) et b1(f) pour l'existence de solutions périodiques.
- Deuxième partie. Pour f de classe C1, croissante et de limite finie, f' est intégrable et les solutions de l'équation sont bornées sur [0, +inf[. On identifie l'unique solution admettant une limite finie en +inf en étudiant une suite de valeurs de la solution, puis on l'exprime par une intégrale sur [x, +inf[.
- Troisième partie. Pour une suite (b_k) décroissante de limite nulle, la transformation d'Abel donne la convergence simple de la série de sin(kx) et une majoration du reste. On obtient la convergence uniforme après multiplication par sin(px), et les b_p comme coefficients de Fourier de la somme f. Si f est continue, on étudie sa primitive, la convergence de la série des b_n/n et la solution périodique de l'équation différentielle associée.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Équations différentielles linéaires
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Séries numériques et vectorielles
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