CNC 2009 PSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2009, filière PSI, en 4 heures. Thème : Intégrale de Gauss, intégrales de Wallis et approximation polynomiale uniforme de la valeur absolue sur [-1,1].

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Recherche des fonctions g(x,y) = phi(y/x) solutions d'une équation aux dérivées partielles du second ordre. Le calcul des dérivées partielles ramène à une équation différentielle linéaire vérifiée par la dérivée de phi, qu'on résout, puis on vérifie les solutions obtenues.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• 1ère partie : calcul de l'intégrale de Gauss. Par intégrale double sur un carré et un triangle, puis passage en coordonnées polaires, on obtient la valeur de l'intégrale de exp(-t^2) sur [0,+inf[. On en déduit par intégration par parties deux autres intégrales, dont celle de (1-exp(-t^2))/t^2.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• 2ème partie, A : quelques résultats préliminaires. Inégalités de convexité sur ln et exp, utilisées pour encadrer l'écart entre exp(-u) et (1-u/n)^n sur [0,n], avec une majoration par u^2 exp(-u)/n.
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Nombres réels et suites numériques
• 2ème partie, B : intégrales de Wallis. Relation de récurrence par intégration par parties, constance de n I_n I_(n-1), décroissance et encadrement de I_n. On exprime I_2n avec un coefficient binomial central et on obtient un équivalent de ce coefficient divisé par 2^(2n).
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Nombres réels et suites numériques, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• 2ème partie, C : deux suites de polynômes approchant uniformément la fonction valeur absolue sur [-1,1]. Les polynômes P_n, combinaisons de puissances paires, s'écrivent sous forme intégrale et un changement de variable les relie à l'intégrale de la première partie. On majore l'écart à |x| et on prouve la convergence uniforme en O(1/racine de n) ; une seconde suite Q_n s'en déduit par comparaison.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Espaces vectoriels normés, Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Équations différentielles linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Dérivabilité et convexité
• Nombres réels et suites numériques
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Espaces vectoriels normés

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