CNC 2017 PSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2017, filière PSI, en 4 heures. Thème : Somme de la série des 1/n^2, transformation de type Laplace et ses applications, fonctions génératrices d'une variable aléatoire.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice : calcul de la somme de la série de Riemann des 1/n^2. Par une intégrale de (x^2/(2 pi) - x) cos(kx), une somme de cosinus et un lemme de type Riemann-Lebesgue établi par intégration par parties, on montre que la somme vaut pi^2/6.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie
• Problème 1, partie I : exemples. On définit N_n(f)(x), intégrale sur R+ de f(t) exp(-nxt). On vérifie que les fonctions exponentielles, cosinus et sinus sont dans l'ensemble L et on calcule leurs images.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Problème 1, partie II : comportements asymptotiques. Limites de N_n(f)(x) et de x N_n(f)(x) quand x tend vers l'infini ou vers 0 selon que f est bornée ou admet une limite, et limite d'une suite associée quand f est intégrable.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Limites et continuité
• Problème 1, partie III : quelques propriétés de N_n. Stabilité de L par multiplication par t^m, caractère C-infini de N_n(f) avec expression des dérivées, et formules donnant N_n(f') et N_n(f'') en fonction de N_n(f).
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Dérivabilité et convexité
• Problème 1, partie IV : injectivité de N_n. Une fonction continue sur [0,1] orthogonale à tous les monômes est nulle, grâce à l'approximation par des polynômes. Un changement de variable ramène à ce résultat et prouve que N_n est injective.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Espaces vectoriels normés
• Problème 1, partie V : application au calcul de l'intégrale de Dirichlet. Avec g(t) = sin(wt)/t et sa primitive G, on exprime N_n(g) à l'aide d'arctan et on en déduit la valeur de l'intégrale de sin(wt)/t sur R+.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque
• Problème 1, partie VI : application à la résolution des équations différentielles. Une équation linéaire d'ordre 2 à coefficients constants avec conditions initiales devient une équation algébrique sur N_n(y). On traite deux exemples puis un système différentiel.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Intégration sur un intervalle quelconque
• Problème 2, partie I : quelques propriétés de la fonction génératrice et quelques exemples. Définition de la fonction génératrice G_X sur [-1,1], lien avec la loi, l'espérance et la variance, calcul pour les lois de Bernoulli, binomiale et géométrique, et identification d'une loi à partir de sa fonction génératrice.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles
• Problème 2, partie II : la fonction génératrice d'une somme de variables aléatoires. Fonction génératrice d'une somme de variables indépendantes de même loi, formule de l'espérance totale, puis cas d'un nombre aléatoire N de termes : G_S = G_N o G_X et E(S) = E(N)E(X).
• Problème 2, partie III : application. Un jeton fixe le nombre de lancers d'un dé tétraédrique. On calcule la loi, l'espérance et la variance de la somme S directement, puis on les retrouve par les fonctions génératrices.

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Séries numériques et vectorielles
• Nombres complexes et trigonométrie
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Limites et continuité
• Dérivabilité et convexité
• Espaces vectoriels normés
• Équations différentielles linéaires

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