CNC 2011 PSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2011, filière PSI, en 4 heures. Thème : Équation d'Euler, formule sommatoire de Poisson et relation fonctionnelle d'une série thêta holomorphe.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Résolution sur un intervalle de R* d'une équation d'Euler du second ordre, homogène puis avec second membre 1/(1+x^2), par changement de fonction inconnue. On cherche ensuite la solution développable en série entière et la solution définie sur R tout entier.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Séries numériques et vectorielles
• Problème, 1ère partie : formule sommatoire de Poisson. Pour une fonction g de classe C1 à décroissance en 1/t^2, on définit la transformée de Fourier, on périodise g par une série de fonctions uniformément convergente et on calcule les coefficients de Fourier de la somme. On aboutit à la formule de Poisson reliant les valeurs de g aux points 2n pi et celles de sa transformée aux entiers.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque
• Problème, 2ème partie : application de la formule sommatoire de Poisson. Pour h(t) = exp(-lambda^2 t^2), la transformée de Fourier vérifie une équation différentielle du premier ordre, ce qui donne son expression. La formule de Poisson conduit alors à une identité entre deux séries de termes exp(-pi n^2 a) et exp(-pi n^2/a).
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Équations différentielles linéaires, Séries numériques et vectorielles
• Problème, 3ème partie : un exemple d'utilisation. Sur le demi-plan Im(z) > 0, ouvert convexe, on étudie la somme u de la série des exp(i pi n^2 z), sa convergence, une relation fonctionnelle et ses dérivées partielles par convergence normale, ce qui prouve son holomorphie. Avec le logarithme principal et un résultat sur les zéros d'une fonction holomorphe, on prolonge l'identité de la deuxième partie à tout le demi-plan.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie, Espaces vectoriels normés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Équations différentielles linéaires
• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Nombres complexes et trigonométrie
• Espaces vectoriels normés

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