Prepa HelpCNC 2005 PSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2005, filière PSI, en 4 heures. Thème : Racines carrées de matrices : résolution de X^2 = A dans Mn(R), cas nilpotent, trigonalisable et symétrique positif.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- I. Un premier exemple. Diagonalisation d'une matrice A d'ordre 3 à valeurs propres distinctes. Une solution de X^2 = A commute avec A, donc est diagonale dans la base propre, ce qui donne la liste complète et le nombre des solutions.
- II. Cas d'un endomorphisme du type IE + u avec u nilpotent. Le développement en série entière de (1 + x)^a, obtenu par l'équation (1 + x)y' - ay = 0, fournit des coefficients b_k. Pour u nilpotent, on établit l'indice maximal et une condition sur p pour que u ait une racine carrée, puis on construit les racines carrées de IE + u comme polynômes en u, en montrant dans le cas p = n qu'il n'y en a que deux. Application à une matrice d'ordre 4.
- III. Autres résultats généraux. Pour u trigonalisable à valeurs propres strictement positives, on part de la décomposition u = d + nilpotent, on construit une racine carrée de d sur les sous-espaces propres, puis une racine carrée de u. Pour les matrices symétriques positives, caractérisation par les valeurs propres, racine carrée positive, Tr(AC) >= 0 et diagonalisabilité de AC lorsque A est positive et inversible.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Équations différentielles linéaires
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