CNC 2004 PSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2004, filière PSI, en 4 heures. Thème : Exponentielle de matrices carrées d'ordre 2 : calculs explicites et image de la fonction exponentielle.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• I. Résultats généraux. Convergence de la suite des sommes partielles E_n(A) par le critère de Cauchy et comparaison à la série des normes. Passage à la limite dans un produit de matrices, relation entre exp(PAP^-1) et exp(A), continuité de la transposition et transposée de l'exponentielle.
  À revoir : Espaces vectoriels normés, Séries numériques et vectorielles
• II. Exemples de calcul de l'exponentielle d'une matrice. Calcul de exp pour une matrice diagonale et pour des matrices triangulaires à diagonale constante, puis par diagonalisation pour une matrice symétrique (c, mu ; mu, c) et pour la matrice (a, -b ; b, a), cette dernière dans M2(C). Comparaison de exp(A + B) et exp(A)exp(B), et exemple de matrice réelle dont l'exponentielle vaut -I2.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires, Nombres complexes et trigonométrie
• III. Détermination de l'image de la fonction exponentielle, A : étude dans le cas complexe. Réduction d'une matrice de M2(C) à une forme diagonale ou triangulaire, formule det exp(A) = e^(Tr A). On en déduit que l'exponentielle prend ses valeurs dans GL2(C) et que son image est exactement GL2(C).
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• III. B : étude dans le cas réel. Forme réduite des matrices réelles selon que leur spectre réel est vide ou non, et positivité du déterminant d'une exponentielle. Une matrice triangulaire de valeur propre -1 n'est pas une exponentielle. On caractérise enfin par le spectre les matrices réelles qui sont des exponentielles.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Nombres complexes et trigonométrie

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Espaces vectoriels normés
• Séries numériques et vectorielles
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Nombres complexes et trigonométrie
• Compléments d'algèbre linéaire

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