Prepa HelpCNC 2009 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2009, filière TSI. Thème : Évaluation des polynômes en n + 1 points, base de Lagrange et approximation polynomiale au sens des moindres carrés.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : étude de l'application f_m. L'application linéaire f_m associe à P de degré au plus m ses valeurs aux points x_0, ..., x_n. Noyau, rang, injectivité et surjectivité selon la position de m par rapport à n, à l'aide de la division euclidienne. Les polynômes de Lagrange forment une base de P_n et donnent l'interpolation.
- 2ème partie, A. Étude dans le cas m >= n + 1. L'interpolation fournit un polynôme qui annule la somme des carrés des écarts. Le minimum est donc nul et l'ensemble des polynômes où il est atteint se décrit à l'aide de Ker f_m.
- 2ème partie, B. Étude dans le cas m <= n. Avec la matrice A des puissances des x_i, on montre que tA A est inversible et que le système tA A Z = tA b a une unique solution w. Celle-ci minimise g(v) = t(b - Av)(b - Av), Aw étant le projeté orthogonal de b sur l'image de A. Application numérique par la méthode du pivot de Gauss et tracé du polynôme de degré 2 obtenu.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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