Prepa HelpCNC 2001 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2001, filière TSI, en 4 heures. Thème : Matrices symétriques positives, matrices et déterminants de Gram.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : matrices réelles symétriques positives. Rang d'une matrice et de l'application linéaire associée, forme quadratique q_M. On étudie M = tB B : positivité, Ker M = Ker B, rg M = rg B et caractérisation du caractère défini positif. Par diagonalisation en base orthonormée, toute matrice symétrique à valeurs propres positives s'écrit tC C.
- 2ème partie : matrices et déterminants de Gram. Déterminant de Gram g(u_1, ..., u_p) dans un espace préhilbertien, d'abord pour p = 2 et p = 3 avec Schmidt et la projection orthogonale. Dans le cas général, G = tB B, le rang de G vaut celui de la famille et g est strictement positif si et seulement si la famille est libre. On en déduit la distance d'un vecteur à un sous-espace à l'aide de deux déterminants de Gram.
- 3ème partie : exemples de matrices de Gram. tB B est une matrice de Gram pour le produit scalaire canonique des colonnes. La matrice de Hilbert (1/(i + j - 1)) vient du produit scalaire intégral sur [0, 1] et se révèle définie positive. La matrice (min(i, j)) est traitée de même, avec une écriture A = tR R où R est triangulaire supérieure.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
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