CNC 2001 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2001, filière TSI, en 4 heures. Thème : Fonctions de Bessel : équation différentielle, développement en série, transformée de Laplace et séries de Fourier.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Partie I. Fonctions J_n définies par une intégrale à paramètre : continuité, classe C2 et équation différentielle de Bessel (E_n). Pour n = 0, recherche d'une solution développable en série entière, identification avec J_0 et valeur approchée de J_0(1) à 10^-5 près.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Séries numériques et vectorielles
• Partie II. Sur ]0, pi/2], J_0 ne s'annule pas et le changement de fonction y = z J_0 ramène (E_0) à une équation du premier ordre. On en tire une solution y_0 de limite infinie en 0, prolongée à R+* en une solution N_0. L'espace des solutions bornées au voisinage de 0 est de dimension 1.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Équations différentielles linéaires du premier ordre
• Partie III. Transformée de Laplace F(p) de t -> J_0(racine(t)). Par des majorations d'intégrales et de restes de séries, on justifie l'intégration terme à terme du développement de J_0 pour identifier F(p) à la somme d'une série.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles
• Partie IV. Relation entre J_(-n) et J_n, puis coefficients de Fourier de cos(x sin theta) et sin(x sin theta) exprimés avec les J_n. Une formule de type Parseval donne la somme des carrés J_n(t)^2. Par changement de variable, J_1 s'écrit avec une intégrale en racine(1 - t^2) et fournit les coefficients de Fourier d'une fonction périodique.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie, Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Équations différentielles linéaires
• Séries numériques et vectorielles
• Équations différentielles linéaires du premier ordre
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Nombres complexes et trigonométrie
• Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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