CNC 2002 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2002, filière TSI, en 4 heures. Thème : Transformation d'Abel et série trigonométrique des sin(nx)/n : somme, majoration uniforme et application.

Lire le sujet 4 pages · sujet sans corrigé, reproduit sans retouche−+Télécharger le PDF (0,2 Mo)

Ce que traite le sujet, partie par partie

• I. Transformation d'Abel. Sommation par parties pour la somme des a_k b_k. On en tire une condition de convergence de la série des a_n b_n, le critère avec (a_n) décroissante de limite nulle et (B_n) bornée, puis un critère de convergence des séries alternées.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• II. Application à l'étude d'une série trigonométrique. Calcul des sommes C_n(x) et S_n(x) des cos(kx) et sin(kx), d'où la convergence de la série des sin(nx)/n par la partie I. Une écriture intégrale de la somme partielle et une intégration par parties montrent que la somme f(x) vaut (pi - x)/2 sur ]0, 2 pi[.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• III. Une majoration uniforme des sommes partielles de la série précédente. Nouvelle transformation d'Abel pour majorer les restes de la série, avec une majoration en 1/((m + 1) sin(x/2)). L'inégalité sin(theta) >= 2 theta/pi et un découpage selon la partie entière de pi/x donnent la borne uniforme 2 + pi des sommes partielles.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie, Dérivabilité et convexité
• IV. Calcul de la somme d'une série. Pour g continue et 2 pi-périodique, de coefficients b_n, convergence de la série des b_n^2 et convergence absolue de celle des b_n/n. L'intégrale de f g est découpée près des bords grâce à la borne uniforme de la partie III, ce qui montre que la somme des b_n/n vaut (1/pi) fois l'intégrale de f g sur [0, 2 pi].
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Nombres complexes et trigonométrie
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

Les autres épreuves du CNC 2002

• Mathématiques II
• Physique I
• Physique II

Mathématiques I : les autres années

• CNC 2026 : Lois géométriques et applications de la formule de Taylor avec reste intégral
• CNC 2025 : Séries géométriques, loi géométrique et intégrale de e^(-tx)/(1+x²)
• CNC 2024 : Intégrale de sin(λt)/(x+t), équation différentielle et densités de probabilité
• CNC 2023 : Extremum d'une fonction de deux variables et équation y'' + y = f
• CNC 2022 : Suites récurrentes, série de Fourier et équation différentielle linéaire du second ordre
• CNC 2021 : Intégrales impropres, variables aléatoires à densité et constante d'Euler
• CNC 2019 : Intégrales de Gauss et formule de Taylor avec reste intégral : séries, fonctions absolument monotones et équation y'''' = y
• CNC 2018 : Équivalents en 0 de deux fonctions sommes de séries, puis irrationalité de e^r pour r rationnel non nul
• CNC 2017 : Fonction définie par une intégrale à paramètre, somme des 1/n^2 et fonctions génératrices
• CNC 2011 : Point fixe d'une application contractante, étude de f(x) = (1/x) intégrale de arctan(t)/t et équation différentielle x^2 y'' + 3x y' + y = 1/(1+x^2)
• CNC 2010 : Famille de courbes y = x + lambda (x^2+1)/e^x, polynômes 1 + x + ... + x^(2n), intégrale de Gauss et transformée de Fourier de la gaussienne
• CNC 2009 : Intégrale de Gauss, intégrales de Wallis et approximation uniforme de |x| sur [-1, 1] par des polynômes
• CNC 2008 : Équation fonctionnelle f(x)f(y) = intégrale de f sur [x - y, x + y] et étude de la fonction intégrale de dt/ln t sur [x, x^2]
• CNC 2007 : Irrationalité de pi par les polynômes x^n(a - bx)^n / n! ; cardioïde, courbure et homothéties
• CNC 2006 : Équation aux dérivées partielles par changement de variables, séries de Fourier et opérateur de moyenne sur les fonctions continues
• CNC 2005 : Somme de la série des 1/n^2 et équation différentielle y'' + y = f : solutions périodiques et solutions bornées
• CNC 2004 : Transformée de Fourier, produit de convolution et intégrales des puissances de sin t / t
• CNC 2003 : Transformée de Fourier de la gaussienne, intégrale de cos(xt)/ch t, équation des cordes vibrantes
• CNC 2001 : Fonctions de Bessel : équation différentielle, développement en série, transformée de Laplace et séries de Fourier
• CNC 2000 : Coefficients de Fourier complexes, formule sommatoire de Poisson, sommes de Gauss et fonction chi

← Tous les sujets CNC TSI