Prepa HelpCNC 2018 TSI Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2018, filière TSI. Thème : Équivalents en 0 de deux fonctions sommes de séries, puis irrationalité de e^r pour r rationnel non nul.
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Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice : étude de deux fonctions définies comme sommes de séries. Fonctions phi et psi, sommes des séries de sqrt(n) e^(-nx) et de e^(-nx)/sqrt(n) sur ]0, +inf[ : intégrabilité de e^(-u)/sqrt(u), rayon de convergence d'une série entière et classe C-infini. Encadrement de psi par des intégrales pour obtenir son équivalent en 0+, limite en +inf, puis équivalent de phi grâce à la convergence de la somme des 1/sqrt(k) moins 2 sqrt(n).
- Problème, 1ère partie : résultats préliminaires utiles. Suites dont le rapport de deux termes tend vers 0, limite de a^n/n!, dérivées successives de x^n(1-x)^n/n! en 0 et 1, qui sont entières. Formule d'intégration par parties itérée, critère de rationalité portant sur Z + aZ, puis condition suffisante d'irrationalité à l'aide de suites d'entiers.
- Problème, 2ème partie : démonstration du résultat annoncé. Construction de e par deux suites adjacentes et irrationalité de e. Étude de l'intégrale T_n(x) de e^(xt) L_n(t), où L_n est la dérivée n-ième de U_n : non-nullité, majoration, écriture de x^(n+1) T_n(x) sous la forme Q_n(x) e^x - P_n(x) avec des polynômes à coefficients entiers. Irrationalité de e^r pour r entier puis rationnel, et de ln a pour a rationnel positif distinct de 1.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Nombres réels et suites numériques
- Dérivabilité et convexité
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
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