CNC 2011 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2011, filière TSI, en 4 heures. Thème : Point fixe d'une application contractante, étude de f(x) = (1/x) intégrale de arctan(t)/t et équation différentielle x^2 y'' + 3x y' + y = 1/(1+x^2).

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Premier problème, 1ère partie : existence du point fixe. Pour f contractante de I dans I, la suite u_(n+1) = f(u_n) est bien définie. Sur [a,b], deux suites adjacentes construites à partir de u_n donnent une limite qui est point fixe. Les cas [a,+infini[, ]-infini,a] et R se ramènent à ce segment par un choix d'intervalle stable ou par symétrie.
  À revoir : Suites récurrentes, Nombres réels et suites numériques, Limites et continuité
• Premier problème, 2ème partie : unicité du point fixe, calcul approché. Unicité du point fixe et majoration de |u_n - l| par k^n |u_1 - u_0| / (1-k). Exemple de f(x) = 1 + sin(x)/2, avec le choix de n assurant une approximation à 10^(-3) près.
  À revoir : Suites récurrentes, Dérivabilité et convexité
• Deuxième problème, 1ère partie : étude d'une fonction. Développement en série entière de arctan, prolongement de g(t) = arctan(t)/t et de f(x) = (1/x) intégrale de g sur [0,x], rayon de convergence et classe C^infini. On établit par des majorations que f(1) est la somme d'une série alternée, puis on étudie f en +infini à l'aide de arctan t + arctan(1/t) = pi/2 : équivalent, développement en série pour x > 1, variations et allure de la courbe.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Limites et continuité
• Deuxième problème, 2ème partie : résolution d'une équation différentielle. Équation d'Euler x^2 y'' + 3x y' + y = 0 résolue sur chaque demi-droite par une solution t^alpha puis la méthode t -> lambda(t)/t. Même méthode avec le second membre 1/(1+x^2) ; on cherche ensuite l'unique solution développable en série entière en 0 et l'unique solution sur R.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Séries numériques et vectorielles

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Suites récurrentes
• Nombres réels et suites numériques
• Limites et continuité
• Dérivabilité et convexité
• Séries numériques et vectorielles
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Équations différentielles linéaires

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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