Prepa HelpCNC 2011 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2011, filière TSI, en 4 heures. Thème : Transformation de Fourier discrète et son algorithme rapide, puis courbe (t^2, t^3) et tangentes perpendiculaires.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Premier problème, 1ère partie : quelques propriétés de Phi_p. La transformation de Fourier discrète évalue le polynôme P_x aux puissances de la racine p-ième de l'unité w_p. On montre que c'est un automorphisme de C^p, on écrit sa matrice M, on calcule les sommes de puissances de w_p, on établit une égalité de type Parseval et on obtient l'inverse de M à partir de son conjugué.
- Premier problème, 2ème partie : un peu d'algorithmique. Pour p = 2^n, on calcule la transformée de a à partir de celles de ses termes de rang pair et impair, on prouve la correction de l'algorithme récursif et on compte ses additions et multiplications par des relations de récurrence. On compare avec le coût du calcul par l'algorithme de Hörner pour p assez grand.
- Deuxième problème, 1ère partie. Polynôme P_(a,b) = X^3 - 3aX + 2b : existence d'une racine réelle par le théorème des valeurs intermédiaires et caractérisation des racines doubles par a = t^2, b = t^3. Le signe d'un discriminant, relié à b^2 - a^3, décide si P_(a,b) a une seule racine réelle.
- Deuxième problème, 2ème partie. Étude de la courbe paramétrée gamma(t) = (t^2, t^3) : symétrie, points birréguliers, nature du point gamma(0), tangente en un point, variations, branches infinies et tracé du support.
- Deuxième problème, 3ème partie. La tangente en gamma(t_0) recoupe la courbe en un unique autre point, ce qui définit une suite de points dont on étudie la limite. On caractérise ensuite les paires de tangentes perpendiculaires, on montre que les points d'où elles partent décrivent une parabole P d'équation y^2 = (4/27)(x - 4/27), dont on donne les éléments, et on situe P par rapport à la courbe.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Nombres complexes et trigonométrie
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
- Compléments d'algèbre linéaire
- Complexité des algorithmes itératifs et récursifs
- Récursivité
- Suites récurrentes
- Limites et continuité
- Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
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