CNC 2007 TSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2007, filière TSI, en 4 heures. Thème : Matrices de rang 1 et décomposition U tV ; théorème de d'Alembert-Gauss par deux méthodes analytiques.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Premier problème, 1ère partie. Rang d'une matrice et dimension de l'image. Toute matrice de rang 1 s'écrit X tY, et toute matrice de rang r est somme de r matrices de rang 1. Les matrices X_i tY_j forment une base de M_n(R), rendue orthonormée pour le produit scalaire Tr(tM N).
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Premier problème, 2ème partie. Pour A = U tV de rang 1 et lambda = tV U : A^2 = lambda A, nilpotence, projecteur à un facteur près, valeurs propres et sous-espaces propres. A est diagonalisable si et seulement si lambda est non nul ; sinon une base adaptée montre que deux matrices de rang 1 et de trace nulle sont semblables.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire
• Deuxième problème, I. Résultats préliminaires. Pour un polynôme complexe P, équivalent de |P(z)| quand |z| tend vers l'infini et encadrement hors d'un disque. L'application z -> |P(z)| est alors minorée sur C et y atteint sa borne inférieure.
  À revoir : Limites et continuité, Nombres complexes et trigonométrie
• Deuxième problème, II. Première méthode analytique. Inégalité d'Argand : si P(a) n'est pas nul, il existe b tel que |P(b)| < |P(a)|, grâce à une racine k-ième bien choisie. Le point où |P| atteint son minimum est donc une racine de P.
  À revoir : Nombres complexes et trigonométrie, Limites et continuité
• Deuxième problème, II. Deuxième méthode analytique. Par l'absurde, on suppose que P n'a pas de racine et on considère F(r), intégrale de d theta / P(r e^(i theta)) sur [0, 2 pi]. Sa dérivée, calculée à l'aide des dérivées partielles de 1/P(r e^(i theta)), sa limite nulle à l'infini et sa valeur en 0 donnent une contradiction.
  À revoir : Calcul infinitésimal du physicien : dérivées et différentielles, Nombres complexes et trigonométrie

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Compléments d'algèbre linéaire
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Limites et continuité
• Nombres complexes et trigonométrie
• Calcul infinitésimal du physicien : dérivées et différentielles

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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