Prepa HelpCNC 2004 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2004, filière TSI, en 4 heures. Thème : Exponentielle d'une matrice d'ordre 2 et système différentiel ; matrices de trace nulle comme commutateurs en taille 3.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Premier problème, première partie. Diagonalisation d'une matrice A d'ordre 2 de valeurs propres 2 et 3 : sous-espaces propres supplémentaires, base propre, écriture A = P D P^-1. On en déduit l'expression de A^n.
- Premier problème, deuxième partie. Matrice E_n(t), somme partielle de l'exponentielle de tA, et limite E(t) coefficient par coefficient à l'aide de la série exponentielle. On écrit E(t) = e^(2t) Q + e^(3t) R, on calcule les produits de Q et R, puis on établit E(s)E(t) = E(s + t), l'inversibilité de E(t) et l'injectivité de t -> E(t).
- Premier problème, troisième partie. Système différentiel linéaire x' = x + y, y' = -2x + 4y. Le changement d'inconnue par E(-t) montre que les solutions sont exactement les E(t) appliquées à un vecteur constant.
- Second problème. F désigne les matrices d'ordre 3 vérifiant a_13 = 0 et a_12 + a_23 = 0. On montre qu'une matrice de M_3(K) est semblable à un élément de F, selon son rang et l'existence d'une valeur propre, le cas sans valeur propre étant traité sur Q. Avec l'image de X -> XR - RX, on conclut qu'une matrice est de trace nulle si et seulement si elle s'écrit BC - CB.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Séries numériques et vectorielles
- Équations différentielles linéaires
- Compléments d'algèbre linéaire
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