Prepa HelpCNC 2002 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2002, filière TSI, en 4 heures. Thème : Matrices stochastiques : convergence des puissances et valeurs propres de module 1.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie : un exemple et quelques résultats généraux. Étude de K_n, matrices à coefficients positifs dont chaque ligne a pour somme 1. La dimension 2 est traitée par diagonalisation et limite des puissances. K_n est stable par produit et par passage à la limite, ses éléments orthogonaux sont des matrices de permutation, et un lemme traite le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire.
- 2ème partie : étude d'une suite d'éléments de K_n. Pour A à coefficients strictement positifs, on compare le maximum et le minimum des composantes de A^k Y. Les deux suites sont monotones et adjacentes grâce à une contraction de facteur 1 - 2w. On en déduit que (A^k) converge vers un élément de K_n exprimé avec les limites l_1, ..., l_n.
- 3ème partie, A : premiers résultats. 1 est valeur propre, de vecteur propre e, et toute valeur propre vérifie |lambda| <= 1. Une méthode analogue place les valeurs propres dans un disque de centre m et de rayon 1 - m, où m est le plus petit coefficient diagonal. On en tire que 1 est la seule valeur propre de module 1 si m > 0, et l'inversibilité de A si m > 1/2.
- 3ème partie, B : toute valeur propre de A de module 1 est une racine de l'unité. Pour |lambda| = 1, le cas d'égalité de la première partie appliqué à une composante de module maximal force une structure rigide des composantes du vecteur propre. Une suite finie d'indices montre alors que lambda^q = 1. Si tous les coefficients sont strictement positifs, l'espace propre associé à 1 est la droite engendrée par e.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Nombres complexes et trigonométrie
- Nombres réels et suites numériques
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