CNC 2014 TSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2014, filière TSI. Thème : Ellipse et projeté d'un foyer sur ses tangentes, sous-espaces de M_2(K) formés de matrices diagonalisables.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Sur une ellipse paramétrée par (a cos t, b sin t), équation de la tangente en M(t) et coordonnées du projeté orthogonal P(t) du foyer F sur cette tangente. Le point P(t) décrit un cercle dont on précise le rayon, et on trace le tout pour a = 5, b = 3.
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Problème, 1ère partie : caractérisation des homothéties en dimension 2, application au commutant. Un endomorphisme de E, de dimension 2, pour lequel (x, f(x)) est toujours liée est une homothétie. On décrit le commutant C(f) dans les deux cas : c'est L(E) pour une homothétie, Vect(id, f) sinon, puis on traduit le résultat en matrices.
  À revoir : Compléments d'algèbre linéaire, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Problème, 2ème partie : diagonalisation simultanée dans M_2(K). Diagonalisabilité des matrices triangulaires et de A + lambda I_2, diagonalisation simultanée de deux matrices diagonalisables qui commutent et diagonalisabilité de A + lambda B. Un exemple réel montre que la réciproque échoue, tandis qu'elle est vraie sur C : si A + lambda B est diagonalisable pour tout lambda complexe, l'étude d'un discriminant de degré 2 en lambda donne AB = BA.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Problème, 3ème partie : étude des sous-espaces de M_2(K) formés de matrices diagonalisables. Sur C, un tel sous-espace non nul est le commutant d'une matrice non scalaire ou une droite. Sur R, les matrices symétriques forment un hyperplan de matrices diagonalisables et tout hyperplan de ce type leur est conjugué. On en déduit que tout sous-espace de matrices diagonalisables est conjugué à un sous-espace de S_2(R), puis on décrit les sous-espaces de matrices orthogonalement diagonalisables.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Compléments d'algèbre linéaire

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Compléments d'algèbre linéaire
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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