Prepa HelpCNC 2005 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2005, filière TSI, en 4 heures. Thème : Racines carrées de matrices et d'endomorphismes, opérateur de différence sur les polynômes et sommes des puissances d'entiers.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Exercice 1. Diagonalisation d'une matrice A d'ordre 3 et changement de base. Toute matrice B telle que B^2 = A commute avec A, donc elle est diagonale dans la base propre. On en déduit l'ensemble fini des solutions de X^2 = A.
- Exercice 2. Indice de nilpotence p d'un endomorphisme u : liberté de la famille des u^k(x0), p <= n, et majoration de p quand u admet une racine carrée. Pour p = n, tout endomorphisme g tel que g^2 = I + u est un polynôme en u, et il y en a exactement deux. Application à une matrice d'ordre 4.
- Problème, première partie. Étude de l'endomorphisme D : P -> P(X + 1) - P(X) de R[X] : noyau formé des constantes, effet sur le degré et le coefficient dominant, image de R_n[X]. On obtient la surjectivité, puis un supplémentaire du noyau et l'existence d'un unique antécédent nul en 0.
- Problème, deuxième partie. Suite des polynômes P_n = X(X - 1)...(X - n + 1)/n!, base de R_n[X], et coordonnées obtenues par divisions euclidiennes successives. Application au calcul des sommes S_(n,p) = 1^n + ... + p^n, avec les formes factorisées pour n = 2 et n = 3.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
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