CNC 2005 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2005, filière TSI, en 4 heures. Thème : Somme de la série des 1/n^2 et équation différentielle y'' + y = f : solutions périodiques et solutions bornées.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Calcul d'intégrales de (at^2 + bt) cos(k pi t) sur [0, 1] et de la somme 1 + 2 somme de cos(2k theta). Une intégration par parties donne le lemme de Riemann-Lebesgue pour une fonction C1, puis le prolongement C1 d'une fonction auxiliaire conduit à la convergence de la série des 1/n^2 et à sa somme.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Nombres complexes et trigonométrie, Limites et continuité
• Problème, première partie. Structure de l'espace des solutions de y'' + y = 0, dimension et base. Résolution de y'' + y = sin(lambda x) par une solution particulière a sin(lambda x), avec lambda^2 différent de 1. Pour lambda = 2 toutes les solutions sont 2 pi-périodiques, pour lambda = racine de 2 aucune ne l'est.
  À revoir : Équations différentielles linéaires
• Problème, deuxième partie. La fonction x -> intégrale de f(t) sin(x - t) sur [0, x] est une solution particulière de y'' + y = f, d'où la forme générale des solutions. Application à h'' + h >= 0, qui donne h(x + pi) + h(x) >= 0. Lorsque f est 2 pi-périodique, on caractérise l'existence de solutions périodiques par la nullité des intégrales de f sin et f cos sur une période.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Problème, troisième partie. Pour f de classe C1, croissante et de limite finie en l'infini, on établit la convergence des intégrales de f', f' cos et f' sin. Une intégration par parties réécrit les solutions et montre qu'elles sont bornées sur [0, +inf[. Une seule solution Y_f admet une limite finie en l'infini, et on en donne l'expression intégrale.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Séries numériques et vectorielles
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Nombres complexes et trigonométrie
• Limites et continuité
• Équations différentielles linéaires
• Intégration sur un intervalle quelconque

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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