CNC 2003 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2003, filière TSI, en 4 heures. Thème : Transformée de Fourier de la gaussienne, intégrale de cos(xt)/ch t, équation des cordes vibrantes.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice. Pour f(t) = e^(-t^2), on justifie l'existence de la transformée de Fourier, sa dérivabilité et l'équation différentielle y' + (x/2) y = 0 qu'elle vérifie. La résolution donne son expression, l'intégrale de Gauss étant admise.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Équations différentielles linéaires
• Problème 1. Calcul d'une intégrale de e^((a + ib)t) pour traiter les intégrales de e^(-pt) cos(xt). On développe 1/ch t en série alternée d'exponentielles pour écrire l'intégrale de cos(xt)/ch t comme somme d'une série. Les coefficients de Fourier d'une fonction impaire liée à ch(xt) donnent enfin une expression fermée en cosinus hyperbolique.
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Séries numériques et vectorielles, Nombres complexes et trigonométrie
• Problème 2 : sur l'équation des cordes vibrantes. Résolution de l'équation aux dérivées partielles par la méthode de D'Alembert : un changement de variables linéaire donne les solutions F(x - ct) + G(x + ct), puis la solution de condition initiale donnée. Les solutions stationnaires g(x)h(t) se ramènent ensuite à un système d'équations du second ordre, résolu selon le signe du paramètre avec les conditions aux limites y(0) = y(a) = 0.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Équations différentielles linéaires du second ordre

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Intégration sur un intervalle quelconque
• Équations différentielles linéaires
• Séries numériques et vectorielles
• Nombres complexes et trigonométrie
• Équations différentielles linéaires du second ordre

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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