CNC 2006 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2006, filière TSI, en 4 heures. Thème : Équation aux dérivées partielles par changement de variables, séries de Fourier et opérateur de moyenne sur les fonctions continues.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Exercice 1. Par le changement de variables (u, v) -> (u e^v, e^(-v)), bijection C1 de R^2 sur R x ]0, +inf[, on résout x df/dx - y df/dy = 0, dont les solutions sont fonctions de xy. Une solution particulière linéaire traite ensuite le second membre ax + by.
  À revoir : Calcul infinitésimal du physicien : dérivées et différentielles
• Exercice 2. Coefficients de Fourier de la fonction paire égale à x^2 sur [0, pi], d'où les sommes des séries de (-1)^n/n^2, 1/n^2 et 1/n^4. Convergence de l'intégrale de ln(1 + t)/t sur ]0, 1], développement en série alternée et majoration du reste pour obtenir sa valeur.
  À revoir : Séries numériques et vectorielles, Intégration sur un intervalle quelconque
• Problème, première partie. Étude de l'opérateur Phi qui associe à f la fonction x -> (1/x) intégrale de f sur [0, x] : endomorphisme de E, injectif et non surjectif. La résolution de x f' + (lambda - 1) f = 0 donne les valeurs propres de Phi et ses sous-espaces propres.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Techniques fondamentales de calcul en analyse, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Problème, deuxième partie. L'espace E_2 des fonctions de carré intégrable est muni d'un produit scalaire. Une intégration par parties et l'inégalité de Cauchy-Schwarz montrent que Phi laisse E_2 stable avec ||Phi(f)|| <= 2 ||f||, l'égalité n'ayant lieu que pour f nulle. Calcul explicite sur f(x) = 1/(x + 1).
  À revoir : Intégration sur un intervalle quelconque, Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Calcul infinitésimal du physicien : dérivées et différentielles
• Séries numériques et vectorielles
• Intégration sur un intervalle quelconque
• Équations différentielles linéaires
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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