Prepa HelpCNC 2000 TSI Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2000, filière TSI, en 4 heures. Thème : Coefficients de Fourier complexes, formule sommatoire de Poisson, sommes de Gauss et fonction chi.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- Partie I. Lien entre coefficients de Fourier complexes et réels, puis théorème de Dirichlet sous forme complexe. En prolongeant périodiquement une fonction de classe C1 restreinte à [0, 1[, on obtient une formule qui relie la somme des f(k) entre p et q à une série d'intégrales, forme finie de la formule sommatoire de Poisson.
- Partie II. Calcul de la somme de Gauss, somme des e^(2i pi k^2/n) pour k de 1 à n. La formule de la partie I la ramène à une intégrale de type Fresnel J_n sur R, dont on justifie la convergence par intégration par parties. Le lien entre J_n et J_1 et le cas n = 1 donnent la valeur explicite de la somme.
- Partie III. Étude de la fonction chi(t), somme des e^(-pi t n^2) sur Z : convergence, décroissance, limite en l'infini. Par la formule de Poisson et le calcul de l'intégrale gaussienne f(a) via une équation différentielle, on établit une relation entre chi(t) et chi(1/t), puis le comportement de chi près de 0.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Séries numériques et vectorielles
- Nombres complexes et trigonométrie
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Équations différentielles linéaires
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