Prepa HelpCNC 2004 TSI Mathématiques I : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2004, filière TSI, en 4 heures. Thème : Transformée de Fourier, produit de convolution et intégrales des puissances de sin t / t.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- I . Première partie. Pour f continue et 2 pi-périodique, convergence de l'intégrale de f(t)/t^a sur [1, +infini[, périodicité des primitives et intégration par parties avec la valeur moyenne c_0(f). On en déduit un équivalent de l'intégrale de f(t)/t^b entre 1 et x pour b <= 1, puis celui de l'intégrale de |sin t / t|.
- II . Deuxième partie. Transformée de Fourier d'une fonction intégrable : existence, caractère borné, continuité, calcul pour une fonction indicatrice. Convolution de deux fonctions continues nulles hors d'un segment, convolée d'une indicatrice par elle-même, qui donne une fonction triangle, et transformée d'un produit de convolution.
- III . Troisième partie. Le théorème de réciprocité de Fourier étant admis, on définit J_b, intégrale de |sin t / t|^b sur R. La transformée de la fonction triangle Delta_1 s'exprime avec f_2, ce qui donne la valeur de J_2, puis celle de J_4 à partir de (Delta_1 * Delta_1)(0).
- IV . Quatrième partie. Critère des séries alternées avec suites adjacentes et signe du reste. Des encadrements de sin t / t et de e^(-t^2/6) par développement en série entière donnent 0 <= sin t / t <= e^(-t^2/6) sur un intervalle. On en tire une majoration de J_b en fonction de b pour b >= 4.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Intégration sur un intervalle quelconque
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
- Limites et continuité
- Séries numériques et vectorielles
- Nombres réels et suites numériques
Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.