CNC 2007 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2007, filière TSI, en 4 heures. Thème : Irrationalité de pi par les polynômes x^n(a - bx)^n / n! ; cardioïde, courbure et homothéties.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• Premier problème, première partie. Étude des polynômes P_n(x) = x^n(a - bx)^n / n! : degré, racines et multiplicités, valeurs des dérivées successives en 0 et en a/b par la formule de Leibniz. Ces valeurs sont entières lorsque a et b sont entiers.
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Premier problème, deuxième partie. Variations de P_n sur [0, a/b] et borne supérieure beta_n. La suite alpha^n / n! tend vers 0 par l'étude du rapport de deux termes, donc beta_n aussi. Une suite d'entiers convergeant vers 0 est nulle à partir d'un certain rang.
  À revoir : Nombres réels et suites numériques, Dérivabilité et convexité
• Premier problème, troisième partie. On suppose pi = c/d et on pose I_n, intégrale de Q_n(x) sin x sur [0, pi]. L'encadrement donne une limite nulle avec I_n non nul, tandis que des intégrations par parties successives montrent que I_n est entier, ce qui fournit la contradiction.
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Nombres réels et suites numériques
• Deuxième problème, première partie. Étude de la cardioïde d'équation polaire rho = 1 + cos theta : période, parité et axe de symétrie, nature du pôle, concavité, tableau de variations, tangentes et tracé. Calcul de la longueur de l'arc et de l'aire délimitée.
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés
• Deuxième problème, deuxième partie. Questions de cours sur l'abscisse curviligne, l'angle V, le rayon et le centre de courbure en polaires. Retour à la cardioïde : le centre de courbure I(theta) est l'image de M(theta + pi) par une homothétie, et son projeté H(theta) celle de M(theta). Tracé des trois courbes, longueur et aire de la courbe décrite par H.
  À revoir : Fonctions vectorielles et arcs paramétrés

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Dérivabilité et convexité
• Calcul algébrique : sommes, produits, binôme et systèmes linéaires
• Nombres réels et suites numériques
• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Fonctions vectorielles et arcs paramétrés

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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