CNC 2008 TSI Mathématiques I : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques I du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2008, filière TSI, en 4 heures. Thème : Équation fonctionnelle f(x)f(y) = intégrale de f sur [x - y, x + y] et étude de la fonction intégrale de dt/ln t sur [x, x^2].

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• I. Résultats préliminaires. Une fonction continue additive h vérifie h(x) = x h(1), par intégration. Dérivation des fonctions définies par une intégrale à bornes variables u(x) et v(x). Application, par changement de variable, à l'intégrale de g(x + t) cos t sur [a, b].
  À revoir : Techniques fondamentales de calcul en analyse, Dérivabilité et convexité
• II. Étude d'une équation fonctionnelle. Une solution continue non nulle de l'équation vérifie f(0) = 0 et est de classe C2. Elle satisfait z'' + lambda z = 0, et l'étude selon le signe de lambda donne des fonctions en sinus, en sinus hyperbolique ou 2x, dont on vérifie qu'elles conviennent.
  À revoir : Équations différentielles linéaires, Dérivabilité et convexité
• III. Étude d'une fonction. Étude complète de f(x), intégrale de dt/ln t sur [x, x^2] : domaine, dérivée, développement limité de ln en 1, prolongements en 1 et en 0, branche parabolique, variations, croissance de f' et courbe. On en tire la valeur de l'intégrale de (t - 1)/ln t sur ]0, 1[.
  À revoir : Dérivabilité et convexité, Limites et continuité, Intégration sur un intervalle quelconque, Techniques fondamentales de calcul en analyse

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Techniques fondamentales de calcul en analyse
• Dérivabilité et convexité
• Équations différentielles linéaires
• Limites et continuité
• Intégration sur un intervalle quelconque

Chaque chapitre a son cours, ses méthodes, ses pièges et des exercices corrigés. L'essai gratuit donne accès aux chapitres offerts de ta filière.

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