CNC 2008 TSI Mathématiques II : sujet en PDF

Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2008, filière TSI, en 4 heures. Thème : Classes de similitude des matrices carrées d'ordre 2 : classes fermées, diagonalisabilité et borne inférieure de la norme.

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Ce que traite le sujet, partie par partie

• I. Résultats préliminaires. Une classe de similitude réduite à un singleton est celle d'une matrice scalaire. Convergence d'une suite de matrices coefficient par coefficient et norme ||.||_S, passage à la limite sur la trace et le déterminant, invariants de similitude.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Déterminants, Nombres réels et suites numériques
• II. Condition pour qu'une classe de similitude de M_2(K) soit fermée. Formes réduites selon le spectre. Une matrice non diagonalisable à valeur propre double a une classe non fermée, grâce à une suite conjuguée explicite. Sur C, la classe est fermée si et seulement si A est diagonalisable ; sur R, si et seulement si A est diagonalisable ou sans valeur propre réelle, cas traité par une matrice A' telle que A'^2 = -I_2.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Déterminants, Nombres réels et suites numériques
• III. Un autre aspect de l'étude des classes de similitude de M_2(R) : A et B. Propriétés de la norme S et invariance par les matrices orthogonales. Trigonalisation en base orthonormée par le procédé de Schmidt. Pour A à valeurs propres réelles, la borne inférieure de ||PAP^(-1)||_S vaut racine de lambda^2 + mu^2, et elle est atteinte si et seulement si A est diagonalisable.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Déterminants
• III. C. Cas où la matrice n'a aucune valeur propre réelle. Réduction de l'endomorphisme f associé à M' dans une base orthonormée issue d'un vecteur e orthogonal à f(e). On montre que la borne inférieure vaut racine de 2 det M, qu'elle est atteinte et on caractérise les matrices de la classe où elle l'est.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Déterminants
• III. D. Conclusion. Synthèse des deux cas : la borne inférieure de ||PAP^(-1)||_S est atteinte si et seulement si la classe de similitude de A est fermée.
  À revoir : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet

• Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
• Déterminants
• Nombres réels et suites numériques

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