Prepa HelpCNC 2003 TSI Mathématiques II : sujet en PDF
Sujet de l'épreuve de Mathématiques II du Concours National Commun (CNC), Maroc, session 2003, filière TSI, en 4 heures. Thème : Polynômes de Legendre : endomorphisme différentiel, orthogonalité et méthode d'intégration de Gauss.
Ce que traite le sujet, partie par partie
- 1ère partie. Endomorphisme P -> ((X^2 - 1)P')' induit sur E_n : matrice dans la base canonique, valeurs propres, diagonalisabilité et vecteurs propres unitaires P_k de degré k. Pour le produit scalaire intégral sur [-1, 1], l'endomorphisme est symétrique, d'où l'orthogonalité des P_k, une base orthonormée et le calcul de la norme de l'endomorphisme.
- 2ème partie. Polynômes de Legendre L_k, dérivées k-ièmes de (X^2 - 1)^k normalisées : degré, valeurs en 1 et -1 par la formule de Leibniz, parité. Des intégrations par parties successives donnent l'orthogonalité, puis la relation de récurrence à trois termes, le lien avec les P_n et la valeur de la norme de L_k.
- 3ème partie. Méthodes d'intégration numérique de la forme somme des lambda_i f(x_i), et ordre d'une méthode. L'ordre 2n + 1 impose que les x_i soient les zéros de R_(n+1) et donne les poids à l'aide des polynômes d'interpolation de Lagrange. Réciproquement, ce choix donne une méthode exactement d'ordre 2n + 1.
Chapitres à revoir avant de traiter ce sujet
- Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
- Compléments d'algèbre linéaire
- Dérivabilité et convexité
- Techniques fondamentales de calcul en analyse
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